domingo, 15 de mayo de 2011

Zenón de Elea

Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo. Aceptemos el idealismo, aceptemos el crecimiento concreto de lo percibido, y eludiremos la pululación de abismos de la paradoja - J. L. Borges. [1]




En la biblioteca del Escorial, cerca de Madrid, España, hay un fresco pintado entre 1588 y 1595 por Bartolomeo Carducci (1560 - 1608) o Pellegrino Tibaldi (1527 - 1596), que nos muestra a un anciano señalando dos puertas con las inscripciones Veritas y Falsitas. El anciano es seguido por un grupo de jovenes, varios de ellos con libros en sus manos. A sus pies se lee Zenon Heleates.




Se trata, sin duda, de Zenón de Elea (ca. 490 - 430 a.C.). Lo vemos también representado (en la imagen inferior) en el extremo izquierdo de la Escuela de Atenas de Rafael Sanzio (1483 - 1520), aunque también podría tratarse del estoico Zenón de Citio (333 - 264 a.C.).


Zenón de Elea (ca. 490 - 430 a.C.) fue un filósofo presocrático nacido en Elea-Velia en la actual provincia italiana de Salerno. Poco sabemos de él, salvo por lo que nos cuenta Diógenes Laercio en su obra "Vidas, opiniones y sentencias de los filósofos más ilustres" [2] escrita en el siglo III d.C., donde nos dice
Zenón, natural de Elea, fue hijo de Pireto, según Apolodoro en las "Crónicas"; según otros, de Parménides. Otros, finalmente, lo hacen hijo de Teleutágoras por naturaleza, y de Parménides por adopción [...]. Zenón fue discípulo de Parménides, y aun su bardaja. Platón en su "Parménides" dice que fue alto de cuerpo; y en su "Sofista" lo llama "Palamedes Eleático".
Aristóteles dice fue inventor de la dialéctica, como Empedocles de la retórica. Fue varón clarísimo en filosofía y política, como vemos en sus escritos, tan llenos de sabiduría. Queriendo destronar al tirano Nearco (ó Diomedonte, como quieren algunos), fue aprehendido, como refiere Heraclides en el "Epítome de Sátiro". En esta ocasión, como fue preguntado acerca de los conjurados y de las armas conducidas a Lípara, dijo que los conjurados eran todos los amigos del tirano; con lo cual quiso suponerlo abandonado y dejado sólo. Después, diciendo tenía algo que hablarle a la oreja tocante a algunos, se la cogió con los dientes, y no la soltó hasta que lo acribillaron a estocadas, como sucedió al tiranicida Aristogitón. Demetrio dice en sus "Colombroños" que la nariz fue lo que le arrancó de un bocado. 
Antistenes escribe en las "Sucesiones" que después de haber citado por cómplices en la conjuración a los amigos del tirano, como éste le preguntase si había otro culpado, respondió: "Tú, oh destrucción de esta ciudad". Y que a los circunstantes habló de esta forma: "Estoy admirado de vuestra cobardía, pues por miedo de lo que yo padezco, sois esclavos de un tirano"; y que luego cortándose la lengua con los dientes, se la escupió a aquel encima. Incitados con esto los ciudadanos, al punto quitaron la vida a pedradas al tirano. Finalmente, Hermipo dice que Zenón fue metido en un mortero y machacado allí. Mis versos a él son estos: 
Promoviste, oh Zenón, solicitaste
Una facción ilustre. Tu querías,
Al tirano acabando,
A Elea libertad de cautiverio.
Mas no lo conseguiste;
Antes sobrecogido del tirano,
Te mandó machacar en un mortero.
Pero, ¿qué es lo que digo?
No te machacó a ti, sino a tu cuerpo.
En el capítulo L del Apologeticum [3], titulado "De la victoria de los cristianos en los tormentos", el escritor cristiano Quinto Septimio Florente Tertuliano (ca. 160 - 220) nos cuenta que
Zenón de Elea, a quien Dionisio [4] preguntó en qué consiste la superioridad de la filosofía, respondió que en despreciar la muerte, por lo cual el tirano le mandó azotar hasta que el filósofo selló su sentencia con su muerte.
Se conoce a Zenón por sus famosas paradojas. El matemático James Joseph Sylvester (1814 - 1897) dijo que no hay nada como una paradoja para "liberar la inteligencia humana de la influencia letárgica de suposiciones latentes e insospechadas" [5]. Diógenes Laercio ensalza la habilidad argumentativa de Zenón diciendo que
En una y otra lengua poderoso,
Difícil fue Zenón de ser vencido;
Si vencedor de todos.
La forma de argumentación desarrollada por Zenón está emparentada con la "reducción al absurdo" que tanto se usaría a partir de Aristóteles y que, junto con el método inductivo, representan dos de las herramientas más importantes de la Matemática Moderna. Quienes desarrollamos alguna actividad relacionada con la Matemática estamos tan acostumbrados a utilizar estas dos técnicas de argumentación, que solemos olvidar su importancia y rareza. Básicamente, en el método de Reductio ad absurdum se adopta como hipótesis lo contrario a lo que se considera cierto y se deduce a partir de ella alguna incongruencia o absurdo que obliga a rechazar la premisa y a aceptar la tesis opuesta, que era justamente la que se quería demostrar en un principio.

En "A Mathematician's Apology" [6, 7], el matemático Godfrey Harold Hardy (1877 - 2947) nos dice que
La Reducción al absurdo, que Euclides tanto amaba, es una de las mejores armas de la matemática. Es mucho mejor gambito que cualquiera de los del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón u otra pieza, pero un matemático ofrece la partida.
Las paradojas más conocidas de Zenón son las que se refieren al movimiento, sobre todo la de Aquiles y la tortuga, que en la versión de Aristóteles dice que [8]
En una carrera, el corredor más veloz nunca puede alcanzar al más lento, pues el perseguidor primero debe alcanzar el punto desde donde partió el perseguido, de manera que el más lento siempre llevará una ventaja.
De una manera menos glamorosa, la paradoja nos indica que si algo existe, está compuesto de partes, y que estas partes deben, a su vez, estar compuestas de partes. El proceso de subdivisión continua sin fin [9], hasta que el número de partes es infinito. Según Wesley C. Salmon [10]
Las partes últimas no deben tener magnitud, pues si la tuvieran podrían ser subdidividas. Pero un objeto extenso no puede estar compuesto de partes sin magnitud, pues no importa cuantas de ellas juntemos, el resultado no tendrá magnitud. Al sumar ceros, no se obtiene más que cero. Así aparece una segunda dificultad. Las partes deben tener magnitud. Pero la adición de un número infinito de magnitudes, todas mayores que cero, conducirá a una magnitud infinita. Por lo tanto, si existen objetos extensos, son "tan pequeños como para no tener magnitud y tan grandes como para ser infinitos". 
A la luz de los desarrollos matemáticos del siglo XVII esta paradoja constituye quizás el testimonio más antiguo del concepto de infinitesimal desarrollado por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) e Isaac Newton (1643 - 1727 GR).

Naturalmente, este tipo de argumento nos conduce al de indivisibilidad infinita que subyace en el primer postulado de Euclides, según el cual es posible trazar una línea recta entre cualquier par de puntos, por muy próximos o separados que estén. Y está explícitamente indicado en la décima proposición del primer libro de los Elementos, que demuestra la posibilidad de bisecar cualquier segmento rectilíneo.

Una estructura cuantizada del espacio, en el sentido de que existiesen regiones indivisibles, conduciría a la conclusión de que es imposible discernir partes yuxtapuestas de ellas. Pero el principio de individualización es esencial al concepto de espacio newtoniano, y, por lo tanto, tales intervalos deberían carecer de tamaño, es decir que deberían ser puntos. Por otra parte, en la Física Clásica también sería absurdo imaginar una estructura atómica del espacio, donde este se presentaría en pequeñas porciones separadas por... ¿por qué?. Cuando intentamos separar dos porciones de espacio, el "agujero" se llena, precisamente, de espacio.

Immanuel Kant (1724 - 1804) expresaba esta idea de la siguiente manera:
El espacio y el tiempo son quanta continua, porque no puede darse ninguna parte de ellos, excepto como encerrada entre límites (puntos e instantes) [...] Así pues, el espacio se compone únicamente de espacios, y el tiempo sólo se compone de tiempos. Los puntos e instantes son únicamente límites, o sea, meras posiciones que limitan el espacio y el tiempo. 
Para Bertrand Russell (1872 - 1970), en cambio, los puntos no son sólo límites ideales, sino las mismas partes constitutivas del espacio. El espacio es considerado como un agregado infinito y denso de puntos carentes de dimensión. En el espacio newtoniano sólo los puntos son indivisibles y ocupan densamente la totalidad del espacio, sin exclusión de ninguna zona prohibida.

Thomas L. Martin [11] nos provee un profundo análisis de esta Paradoja sobre la pluralidad en el marco de las estrategias argumentativas postestructuralistas de, por ejemplo, Jean-François Lyotard (1924 - 1998), Roland Barthes (1915 - 1980), Gilles Deleuze (1925 - 1995), Féliz Guattarri (1930 - 1992) y, particularmente, Jacques Derrida (1930 - 2004). Por su parte, Jorge Luis Borges (1899 - 1986) vuelve sobre esta paradoja una y otra vez en su literatura..., pero estos serían temas para una discusión futura. Así que para no seguir corriendo junto a Aquiles, nos detenemos aquí. 

  1. J. L. Borges: La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga (Buenos Aires: Discusión, 1964).
  2. Está disponible en la Biblioteca Digital Miguel de Cervantes, en la traducción directa del Griego realizada por D. José Ortiz y Sanz (Madrid: Luis Navarro, Editor, 1887) p. 184-186.
  3. Se puede encontrar una traducción al castellano en el siguiente enlace.  
  4. Tertuliano se equivoca de tirano, ya que Zenón vivió un siglo antes que Dionisio I, tirano de Siracusa.
  5. Citado por T. L. Martin: Poiesis and possible worlds; a study in modality and literary theory (University of Toronto Press, 2004) p. 10.
  6. G. H. A. Hardy: Mathematician's Apology (London: Cambridge University Press, 1941) p. 34. 
  7. H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer: Geometry Revisited (Washington DC: Math. Assoc. Amer., 1967) p. 16.
  8. Aristóteles: Fisica, VI:9, 239b15.
  9. Tal como indica T. L. Martin, este argumento procede casi como la historia de la Física en su búsqueda de los elementos sub-atómicos constituyentes de la materia.
  10. W. C. Salmon, ed.: Zeno's Paradoxes (Hackett Publishing, 2001) p 14.
  11. T. L. Martin: ibid pp. 9-10



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