El péndulo de Poe

Pero el movimiento del péndulo se efectuaba ya sobre mi pecho. La estameña de mi traje había sido atravesada y cortada la camisa. Efectuó dos oscilaciones más, y un agudo dolor atravesó mis nervios. (Edgar Allan Poe: "The Pit and the Pendulum", 1842) [1]

El péndulo consiste, básicamente, en una masa que puede oscilar suspendida de un punto mediante una cuerda o una varilla. A comienzos del siglo XVII, Galileo Galilei (1564 - 1642) estudió las propiedades de este sistema, y encontró que su período T (es decir el tiempo que tarda en regresar a un punto cualquiera de su trayectoria) es -cuando las oscilaciones son de pequeña amplitud- independiente de la masa y de la amplitud de la oscilación, y proporcional a la raíz cuadrada de su longitud, ℓ. De hecho, si medimos la longitud del hilo en metros y el período en segundos, T ≈ 2 ℓ^½ [2]. Este simple descubrimiento resultó de una gran importancia práctica. El mismo Galileo utilizó el péndulo para mediciones del tiempo. Medio siglo más tarde, el científico holandés Christiaan Huygens (1629 - 1695) construyó el primer reloj de péndulo, que permitía medir el tiempo con un precisión inmensamente mayor que la alcanzada con otros aparatos mecánicos. En Febrero de 1851, Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) asombró a legos y profanos con un enorme péndulo de 28 kg de peso y 67 metros de largo colgando en el interior del Panteón de París. El plano de oscilación se desplazaba 11 grados cada hora, permitiendo así "ver" la rotación de la Tierra en un cuarto cerrado.

Pero pocos años antes de esta fantástica demostración, Edgar Allan Poe (1809-1849), escribió una historia de terror titulada "El Pozo y el Péndulo", donde describe la tortura de un prisionero de la Inquisición Española en la época de las Guerras Napoleónicas.

Leemos en "History of Torture Throughout the Ages" [3] de George Ryley Scott, que la Inquisición Española

"algunas veces [utilizaba la tortura del péndulo] para extraer confesiones, siendo el instrumento mortal detenido cuando el prisionero expresaba su deses a dar toda la información requerida; otras como forma de ejecución".

Scott agrega además que la descripción de Edgar Allan Poe "es una descripción realista de los sufrimientos soportados por aquellos que, muy frecuentemente, eran torturados de esta manera" [3]. Sin embargo, a pesar de esta serie de afirmaciones, Scott no provee el aval de ninguna referencia. (En la imagen de la derecha vemos una ilustración por Harry Clarke (1889 - 1931), cuya primera impresión es de 1919).

Leamos la descripción que nos da Poe de esta famosa forma de tortura [4].

Levanté los ojos y examiné el techo de mi prisión. Se hallaba a una altura de treinta o cuarenta pies [...]. En una de sus caras llamó mi atención una figura de las más singulares. Era una representación pintada del Tiempo, tal como se acostumbra representarle, pero en lugar de la guadaña tenía un objeto que a primera vista creí se trataba de un enorme péndulo como los de los relojes antiguos. [...] Me pareció ver que se movía. Un momento después se confirmaba mi idea. Su balanceo era corto y, por tanto, muy lento [...] [5]

Podemos pensar en el péndulo como un sistema que, de manera periódica, transforma energía potencial en cinética y viceversa. Cuando está en el punto más alto de su oscilación, el péndulo está en reposo y ha acumulado una energía potencial en el campo gravitatorio de la Tierra [6]. Cuando pasa por el punto más bajo, ha transformado esa energía potencial en movimiento [7] y adquirido la máxima velocidad posible. Naturalmente, si todo lo demás se mantiene igual, cuando mayor sea la amplitud de la oscilación, mayor será la velocidad [8]. Y eso es lo que nos está diciendo Poe: Su balanceo era corto y, por tanto, muy lento.

El relato continúa de la siguiente manera:

Transcurrió media hora, tal vez una hora [...]. El camino del péndulo había aumentado casi una yarda, y, como consecuencia natural, su velocidad era también mucho mayor. Pero, principalmente, lo que más me impresionó fue la idea de que había descendido visiblemente. [...] Su extremo inferior estaba formado por media luna de brillante acero, [...] afilado como una navaja barbera. [...] [9]

Aquí Poe nos da varios datos interesantes sobre el funcionamiento de este péndulo. En general, debido a la pérdida de energía por rozamiento [10] después de media hora o una hora de oscilación, el "camino del péndulo" tendría que haberse reducido, no aumentado, como nos dice Poe. Y no basta con que, por algún mecanismo, el hilo se haya ido estirando para que el péndulo descienda [11]. Se necesita que algo o alguien le esté entregando energía al péndulo, no sólo para mantener la oscilación a pesar del rozamiento, sino más aún, para aumentar su amplitud, y eso aún cuando se aumente su longitud para hacerlo descender. En otras palabras, el péndulo en el relato de Poe no se está moviendo libremente. Alguien o algo lo está haciendo oscilar. Se trata de un péndulo "forzado". (En la imagen vemos una fotografía del set de filmación de "The Pit and the Pendulum", película de 1961 dirigida por Roger Corman y protagonizada por Vicent Price).

El relato de Poe continua de la siguiente manera:

Pulgada a pulgada, línea a línea, descendía gradualmente, efectuando un descenso sólo apreciable a intervalos, que eran para mí más largos que siglos. Y cada vez más, cada vez más, seguía bajando, bajando. Pasaron días, tal vez muchos días, antes que llegase a balancearse lo suficientemente cerca de mí para abanicarme con su aliento acre [...]. La oscilación del péndulo se efectuaba en un plano que formaba ángulo recto con mi cuerpo. Vi que la cuchilla había sido dispuesta de modo que atravesara la región del corazón [...]. A pesar de la gran dimensión de la curva recorrida—unos treinta pies, más o menos—y la silbante energía de su descenso, que incluso hubiera podido cortar aquellas murallas de hierro, todo cuanto podía hacer, en resumen, y durante algunos minutos, era rasgar mi traje. [...] ¡Más bajo, invariablemente, inexorablemente más bajo! ¡Movíase a tres pulgadas de mi pecho! [...] La cincha colgaba en jirones de mi cuerpo. Pero el movimiento del péndulo se efectuaba ya sobre mi pecho. La estameña de mi traje había sido atravesada y cortada la camisa. Efectuó dos oscilaciones más, y un agudo dolor atravesó mis nervios [...] [12]

En la imagen de la izquierda, vemos la ilustración "The pit and the pendulum" por William H. Mortensen (1897 - 1965). Por las dudas, no voy a revelar como termina esta historia. Pero sí diré que es altamente improbable que la Inquisición haya utilizado alguna vez un mecanismo de esta complejidad. Veamos lo que dicen al respecto Gregory L. Baker y James A. Blackburn en su libro "The pendulum: a case study in physics" [13]

Algunos estudiosos [14,15] sugieren que mientras la tortura era un manera usual y aceptada de descubrir la verdad en temas seculares y religiosos, no era probable que la Inquisición la usara gratuitamente una vez que se había establecido la sentencia. Y, en la historia, ha habido un juicio y se ha pronunciado una sentencia. Además, los instrumentos de tortura eran bastante simples y directos. Un péndulo forzado que descendiera lenta y silenciosamente, y que lentamente aumentara su amplitud de oscilación, dentro y por encima de un pequeño cuarto de tortura, es relativamente complejo y difícilmente vale el esfuerzo aún cuando se hubiesen encontrado artesanos capaces de construir tal artefacto. Por lo tanto, la historia de Poe es algo irreal en este respecto. [...] Pero, real o no, la imagen de un péndulo afilado es aterradora. La regularidad y la inexorabilidad del movimiento del péndulo contribuyen al clima del terror de la historia. La periodicidad del péndulo, que es tan importante en otros contextos, aquí sirve a la causa del suspenso literario.

Para terminar esta entrada, les muestro un dibujo satírico en tinta de Udo J. Keppler (1872 - 1956), donde el pobre consumidor ve el costo de vida acercándose a él en la forma de un péndulo; y les paso la referencia a un artículo científico de 1980 donde, con el título de "Simetrías de un oscilador N-dimensional dependiente del tiempo", se estudia el tema (¡y se cita el cuento de Poe!) de una manera... bueno... más científica.

1. En la imagen de la izquierda se muestra un grabado realizado por C. F. Tilney para el libro de Hans Heinz Ewers: Edgar Allan Poe (Berlin and leipzig: Schuster and Loeffler, 1906).
2. La relación entre el período y la longitud es T ≈ 2π(ℓ/g)^½, donde g ≈ 9.81 m/seg es la aceleración de la gravedad. Pero como g/ π² ≈ 1 m/seg², se puede aproximar T ≈ 2 ℓ^½.
3. G. R. Scott: History of Torture Throughout the Ages (Whitefish: Kessinger Publishing, 2003) página 242; la primera edición de este libro fue publicada por T. W. Laurie, London, 1940.
4. E. A. Poe, S. Levine and S. Levine: The short fiction of Edgar Allan Poe: an annotated edition (University of Illinois Press, 1990).
5. Looking upward, I surveyed the ceiling of my prison. It was some thirty or forty feet overhead [...]. In one of its panels a very singular figure riveted my whole attention. It was the painted figure of Time as he is commonly represented, save that, in lieu of a scythe, he held what, at a casual glance, I supposed to be the pictured image of a huge pendulum such as we see on antique clocks. [...] I fancied that I saw it in motion. In an instant afterward the fancy was confirmed. Its sweep was brief, and of course slow. [...].
6. Esta energía potencial es igual a E = ℓgm(1-cosθ_o), donde m es la masa (peso) del péndulo, ℓ es la longitud del hilo o cable que lo sostiene,  θ_o es el ángulo máximo de oscilación respecto de la vertical (en radianes) y g es la aceleración de la gravedad. En una aproximación de pequeñas oscilaciones (θ_o « 1), podemos aproximar cos θ_o ≈ 1 - θ_o ²/2, obteniendo para la energía potencial, E = ℓ g m θ_o²/2.
7. La energía cinética es mv²/2 con v la velocidad.
8. De hecho, igualando la energía potencial E = ℓ g m θ_o²/ 2 en el extremo superior de la trayectoria, con la energía cinética mv²/2 en el punto inferior, podemos despejar la velocidad, que resulta ser igual a v = (ℓg)^½ θ_o.
9. It might have been half an hour, perhaps even an hour [...]. The sweep of the pendulum had increased in extent by nearly a yard. As a natural consequence, its velocity was also much greater. But what mainly disturbed me was the idea that had perceptibly descended. [...] Its nether extremity was formed of a crescent of glittering steel, [...] as keen as that of a razor. [...]
10. ... con el aire o en el punto de donde se sostiene la cuerda.
11. Si se estira ℓ, el período T = 2π(ℓ/g)^½ de la oscilación aumenta. Pero como el ángulo θ_o debe disminuir como 1/ℓ² para mantener la energía E constante, el camino λ ≈ 2ℓθ_o recorrido en un período disminuye como 1/ℓ.
12. Inch by inch - line by line - with a descent only appreciable at intervals that seemed ages - down and still down it came! Days passed - it might have been that many days passed - ere it swept so closely over me as to fan me with its acrid breath. [...] The vibration of the pendulum was at right angles to my length. I saw that the crescent was designed to cross the region of the heart [...]. Notwithstanding terrifically wide sweep (some thirty feet or more) and the its hissing vigor of its descent, sufficient to sunder these very walls of iron, still the fraying of my robe would be all that, for several minutes, it would accomplish [...]. Down -- certainly, relentlessly down! It vibrated within three inches of my bosom! [...] The surcingle hung in ribands from my body. But the stroke of the pendulum already pressed upon my bosom. It had divided the serge of the robe. It had cut through the linen beneath. Twice again it swung, and a sharp sense of pain shot through every nerve. [...]
13. G. L. Baker and J. A. Blackburn: The pendulum: a case study in physics (Oxford University Press, 2005), páginas 63-64.
14. J. A. Llorente: A Critical History of the Inquisition of Spain (Williamstown, MA: John Liburne Co. 1823).
15. H. C. Lea: A History of the Spanish Inquisition, vol. 3 (New York: MacMillan, 1907).
16. G E Prince and C J Eliezer: Symmetries of the time-dependent N-dimensional oscillator Journal of Physics A: Mathematical and General 13, 815 (1980).