El problema de tres cuerpos

El. Dr. Halley le contó a Conduitt que a menudo presionaba [a Newton] para que completara su teoría de la Luna, y que el siempre respondía que "le daba dolor de cabeza, y le mantenía despierto tan a menudo, que no pensaría más en él" [1]

Desde hace algunas semanas he estado dando vuelta con esta imagen, y todavía no he explicado de que se trata... Pues bien, se refiere a un sistema formado por un protón, un electrón y un positrón, es decir por el núcleo de un átomo de Hidrógeno, un electrón, y su antipartícula. Matemáticamente, éste es un ejemplo de lo que se denomina "problema de tres cuerpos". El primero de tales sistemas en ser estudiado fue el formado por la Tierra, la Luna y el Sol.

Mientras que un sistema de dos cuerpos puede resolverse de manera general tanto en el marco de la Física Clásica como de la Física Cuántica, tal cosa no es posible cuando se trata de tres cuerpos, excepto en algunos pocos casos particulares. Esto no quiere decir que no exista una solución del problema, sino que no puede resolverse por el método de integrales de movimiento.

Veamos si podemos explicarlo mejor. Consideremos un sistema formado por N cuerpos. Para describir su movimiento de manera completa necesitaríamos conocer la posición y la velocidad de cada uno de estos cuerpos. Pero tanto la posición como la velocidad están definidas en nuestro espacio tridimensional, con lo cual el número total de variables que debemos conocer es igual a 6N.

Las integrales de movimiento son ciertas cantidades que combinan las variables anteriores y permanecen constantes en el tiempo. De esta manera cada una de estas integrales permitiría, en principio, eliminar una de las variables, es decir escribirla como una función de todas las demás. Y digo "en principio" por dos motivos.

Por una parte, cada integral tiene que ser independiente de las otras. Por ejemplo, no puedo combinar una integral I₁ con otra  I₂ (por ejemplo sumarlas o restarlas) y esperar que la nueva integral de movimiento me permita reducir el número de variables independientes del problema más allá de lo que ya me permitieron esas dos integrales anteriores.

Por otra parte, la integral tiene que ser una combinación relativamente sencilla de las variables, por ejemplo con operaciones como la suma o la multiplicación. De no ser así, se dice que estamos ante una función trascendente, pues "trasciende el Álgebra",  y en tal caso la reducción no es posible.

El problema de N cuerpos tiene diez integrales algebraicas e independientes:

• tres referidas al centro de masa
• tres referidas al momento lineal
• tres referidas al momento angular
• una referida a la energía.

Esto permite reducir el problema, originalmente de 6N variables, a otro equivalente de 6N-10 variables. Así un problema de dos cuerpos se puede reducir a uno de 2 variables, finalmente asimilable al movimiento de una partícula en una dimensión. Pero así como este problema es sencillo, el de tres cuerpos se nos escapa de las manos...

En 1889 el matemático sueco Magnus Gustaf (Gösta) Mittag-Leffler (1846 – 1927), a quien mostramos en la foto anterior, organizó una competencia internacional en nombre del Rey Oscar II de Suecia y Noruega (1829 - 1907) y en celebración del sexuagécimo cumpleaños del monarca, donde se establecía el siguiente problema:

Dado un sistema con un número arbitrario de muchos puntos materiales que se atraen entre sí de acuerdo a la ley de Newton, y bajo la suposición de que ningún par de tales puntos choca entre sí, intente encontrar una representación de las coordenadas de cada uno de tales puntos como una serie en una variable que sea una función conocida del tiempo y para todos aquellos valores donde la serie converge uniformemente.

Henri Poincaré (1854 - 1912), a quien vemos en la foto inferior tomada en su gabinete de trabajo por Dornac, presentó un trabajo que, aunque no daba solución al problema original, discutía tantas y tan importantes ideas sobre el tema (por ejemplo, al presentar las bases de la futura Teoría del Caos) que le valió ganar el premio.

Pero volviendo a nuestro problema de tres cuerpos, se trata de dos partículas de carga positiva (protón y positrón) y una de carga negativa (electrón). Otra importante característica de este sistema es que dos de ellas (electrón y positrón) son muchísimo mas livianas que la tercera (protón). Además, el electrón se puede unir a cualquiera de las otras partículas para formar un átomo de Hidrógeno (electrón-protón) o el "exótico" positronio (electrón-positrón). Al estar compuesto por una partícula (electrón) y su antipartícula (positrón), el positronio se desintegra en una explosión de rayos gamma al poco tiempo de haberse creado.  Se dice que se trata de un sistema inestable.

En el proceso que estudiamos [2], un positrón impacta contra un átomo de Hidrógeno de tal manera que se produce una ionizacion, es decir la separación del protón y el electrón. Bajo ciertas condiciones, el electrón podría ser capturado por el positrón para formar un positronio. Pero nosotros sólo nos asomamos al  borde de este proceso. El electrón y el positrón permanecen separados, aunque por muy poco.

Entonces, el protón atrae al electrón y repele al positrón (pues cargas distintas se atraen e iguales se repelen), de manera que este par de partículas tiende a orientarse, con el electrón más cerca del protón, y el positrón más lejos. Que esta orientación se produce no es ningún misterio. Lo que llama la atención es lo marcada, lo fuertemente confinada que esta orientación resulta ser. Y lo más importante: no tenemos ni idea de porqué ocurre así.

Aquí se aplicaría a nuestro caso lo que Isaac Newton le dijo a Edmond Halley respecto del problema de tres cuerpos sol-tierra-luna: "nos da dolor de cabeza, y nos mantenía despierto tan a menudo, que quisiéramos no pensar más en él". Pero eso es imposible.

Y para darle un toque de arte a este artículo tan científico, permitanme mencionar a Edward Belbruno (1951) matemático y artista, quien mientras trabajaba en uno de sus óleos tuvo una idea científica, basada justamente en la teoría del Caos aplicada al problema de tres cuerpos. Finalmente, esta idea permitió llevar la nave japonesa "Hiten" hasta la Luna con un mínimo uso de combustible. Podrán encontrar fotos de las obras artísticas de Belbruno, y conocer algo más sobre su trabajo científico, visitando su sitio web [3]

1. D. Brewster: Memoirs of the life, writings and discoveries of Sir Isaac Newton, volume 2 (T. Constable and Co, 1855), p. 158.
2. Institute of Physics: Labtalk: Dynamical alignment of a continuum positron-electron system
3. http://www.belbrunoart.com