Achorripsis

Para componer su obra "Achorripsis", estrenada en el Teatro Colón de Buenos Aires en 1958, Iannis Xenakis utilizó un método basado en el cálculo de probabilidades. De hecho, desarrolló una estructura matemática para orientar la creación musical como si se tratara de "un juego de ajedrez para un solo jugador quien debe seguir ciertas reglas del juego para ganar un premio en una competencia donde él mismo es el juez" [1].

La música y el método musical de Iannis Xenakis (1922 - 2001) han despertado muchas discusiones y controversias. Es evidente que su libro Formalized Music [2] puede resultar oscuro para un lector sin conocimientos de matemática. Mucho se ha discutido también sobre qué tan estricto fue el mismo Xenakis al aplicar sus desarrollos matemáticos a sus propias composiciones.

En una entrada anterior habíamos prometido volver sobre este tema. Y lo haremos ahora usando como ejemplo la obra Achorripsis (palabra griega que significa “chorros de sonido”) para 21 instrumentos, compuesta por Xenakis en 1956-7. ¿Por qué elegí esta obra en particular? Debido a que fue estrenada nada menos que en el Teatro Colón de Buenos Aires el 20 de Julio de 1958, con dirección de Hermann Scherchen (1891 - 1966).

Antes de entrar en tema, quisiera dedicar unas líneas a este director alemán. Según recuerda Graciela Paraskevaidis [3]

De sus varias giras de conciertos [...] rescatamos su valiosa presencia en el Río de la Plata en tres oportunidades: 1948-1949, 1958 (con el estreno mundial de Achorripsis el 20 de julio de ese año en el Teatro Colón de Buenos Aires, con su previsible escándalo en el marco de la conservadora Asociación Amigos de la Música) y 1963, además de haber estado en Chile también en 1947 y 1965, y en Brasil y México en 1955.

Además del Achorripsis de Xenakis, Scherchen estrenó (en su estilo característico de dirección sin batuta) muchas obras de compositores contemporáneos tales como Alban Berg (1885 - 1935), Boris Blacher (1903 - 1975), Luigi Dallapiccola (1904 - 1975), Max Reger (1873 - 1916), Albert Roussel (1869 - 1937) y Arnold Schrönberg (1874 - 1951).

Ahora sí, comencemos a analizar Achorripsis. En el siguiente video se puede escuchar la obra, mientras se va completando una matriz de rectángulos de colores en la poco convencional notación de su autor.

Una vez completada esta reproducción, se podrá comprender mejor la notación propuesta por Xenakis, tal como la vemos en esta fotografía:

Por supuesto que esta no es la partitura de la obra, que de hecho tiene un aspecto completamente convencional [4].

En cambio, la matriz de rectángulos de colores que se desarrolla en la película anterior, y que Xenakis denominó "matriz vectorial M", tiene otra finalidad, esencial a la composición de la obra.

Si miramos más detenidamente las anotaciones al pie, comenzamos a ver algunas de las claves de este "instrumento" de composición, ya que encontramos ecuaciones que serían completamente reconocibles para un matemático o un físico, como correspondientes a las distribuciones de probabilidad que aparecen en una gran variedad de fenómenos naturales y sociales.

Evidentemente, la composición de Achorripsis está sustentada sobre una base matemática. De hecho, en esta obra Xenakis experimentó con métodos aleatorios de composición, donde cada elemento musical ha sido aleatoriamente determinado. Xenakis describe su método a lo largo de varias páginas de su Formalized Music [5]. Allí explica que para construir las celdas que se ven en la matriz M, utilizó una fórmula descubierta en el siglo XVIII por el matemático y físico francés Siméon Denis Poisson (1781 - 1840) y publicada por primera vez en el trabajo "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" de 1837.

Esta ecuación describe la distribución de probabilidad de un evento en sí mismo raro, al que se le dan muchas oportunidades de ocurrir. De hecho, la primera aplicación práctica de esta fórmula fue realizada por Ladislaus Josephovich Bortkiewicz (1868 - 1931) en 1898 [6] para estudiar la muerte accidental de soldados prusianos... debido a la coz de un caballo (!). El evento individual es poco probable. Pero Bortkiewicz lo analizó en un período de dos décadas y extendido a la población total de catorce cuerpos de caballería, encontrando que su probabilidad obedecía la ecuación descubierta muchos años antes por Poisson.

Para componer su obra, Xenakis eligió arbitrariamente 7 timbres distintos (flauta, oboe, etc) y 28 celdas o unidades para cada uno de ellos, distribuyendolos en una matriz como se ve en la matriz M. Como la obra dura 7 minutos, cada celda corresponde a un lapso de 15 segundos.

Luego utilizó una distribución de Poisson para estimar la probabilidad de que un evento ocurra un dado número de veces en esa matriz de 196 unidades. Así, 107 celdas quedarían vacías; en 65 celdas ocurriría un evento; en 19 celdas, dos eventos; en 4 celdas, tres eventos y en una celda, cuatro eventos. Esto corresponde a una distribución de probabilidad con una densidad promedio de 0,6 eventos por celda.

Naturalmente, como paso siguiente Xenakis tuvo que ubicar los eventos en la matriz. No entraré en detalle al respecto, pero diré que nuevamente utilizó la ecuación de Poisson para hacerlo. Sin embargo, Xenakis admite que

Uno podría elegir cualquier otra distribución [distinta de la de Poisson]. Pero en esta investigación axiomática, donde el azar debe permear todo el espacio sonoro, debemos rechazar cualquier distribución que se aparte de la ley de Poisson [... Por supuesto que] Cuanto más grande sea el número de filas y columnas, más rigurosa será la definición. Esta es la ley de los grandes números.

A continuación, Xenakis debe especifícar los "eventos" que ha distribuido sobre la matriz de 7 x 28 celdas.  Teniendo en cuenta que "Diez sonidos por segundo es aproximadamente el límite de lo que puede tocar una orquesta normal", define arbitrariamente una nube de sonidos con una densidad de 10 sonidos cada 4 segundos para el evento individual. Y a partir de allí define 20/4 para el evento doble, 40/4 para el evento triple, etc... Y como la duración media de cada celda es de 15 segundos, resultan 32,5 sonidos en un evento simple, 65 en un evento doble, 97,5 en un evento triple y 130 en un evento cuádruple.

Xenakis explica entonces que

... las filas son intercambiables (es decir que los timbres son intercambiables). Y también lo son las columnas. Esto nos lleva a admitir que el determinismo de esta matriz es parcialmente débil, y que sirve principalmente como una base de pensamiento [...]. El verdadero trabajo de moldear sonidos consiste en distribuir las nubes en el espacio bidimensional de la matriz, y en anticipar a priori todos los encuentros sonoros antes de calcular los detalles, evitando todo prejuicio en cuanto a sus ubicaciones. Es un paciente trabajo de investigación que explota todas las facultades creativas instantáneamente. Esta matriz es como un juego de ajedrez para un solo jugador quien debe seguir ciertas reglas del juego para ganar un premio en una competencia donde él mismo es el juez [...]. Hasta este punto hemos ubicado las densidades de nubes de sonido en la matriz. Ahora con la ayuda de la matemática debemos proceder a coordinar los elementos sonoros aleatorios.

Pero ya ha sido bastante matemática por hoy. Así que dejaremos este nuevo paso en el método de composición de Xenakis para la próxima semana.

1. En la imagen, fragmento de la partitura de Achorripsis, extraída de la cubierta de la edición de Abril de 1986 de El Correo de la Unesco. 
2. Iannis Xenakis: Formalized music: thought and mathematics in composition (Pendragon Press, 1992).
3. G. Paraskevaidis: Scherchen entre nosotros, semanario Brecha, Montevideo, 20 de setiembre de 1991.
4. En la imagen, barras 104-111 de Achorripsis.
5. I. Xenakis: ibid, p. 29-37.
6. Ladislaus von Bortkiewicz: Das Gesetz der kleinen Zahlen (Leipzig, Germany: B.G. Teubner, 1898).