Xenakis y la distribución gaussiana

Se da una gran libertad de elección al compositor. Se trata más de una especie de canalización general, que de restricciones perentorias. La teoría y los cálculos definen las tendencias de las entidades sonoras, pero no constituyen una esclavitud. Las fórmulas matemáticas son por lo tanto domadas y subyugadas  por el pensamiento musical. 

Iannis Xenakis (1922 - 2001) [1]

Continuemos con el análisis de la obra Achorripsis de Iannis Xenakis que comenzamos la semana pasada. Tal como nos dice Linda M. Arsenault:

En las páginas 29-37 de "Música Formalizada" [1], Xenakis nos ofrece una breve vistazo de las técnicas y procedimientos que utilizó para producir "Achorripsis". Su abstruso texto está dividido en dos secciones principales. La primera sección está dedicada a las estratégicas matemáticas involucradas en la utilización de la ley de Poisson para crear la Matriz M que da la estructura formal a la pieza; la segunda sección (comenzando en "Hipótesis de cálculo" en la página 32) se involucra con las complejidades de usar las distribuciones gaussiana, exponencial y uniforme para generar la música de los glissandi en las medidas 103-110. [2]

En efecto, la semana pasada habíamos visto como Xenakis había utilizado la distribución de Poisson para ubicar las nubes de sonido en la matriz vectorial que forma la base matemática de su composición. Tal como el mismo Xenakis explica en su libro "Música Formalizada",

Ahora, con la ayuda del cálculo debemos proceder a la coordinación de los elementos sonoros aleatorios.

¿A qué se refiere Xenakis? Supongamos que debemos ubicar un dado número de sonidos en una dada celda de la matriz. Para hacerlo, Xenakis propone utilizar una distribución de probabilidad muy conocida y ubicua  denominada "gaussiana" o "normal". El proceso es bastante complicado, y no tengo intenciones de desarrollarlo aquí. De hecho, en un pasaje del libro, el mismo Xenakis dice que

No hablaremos sobre los medios de verificación de enlaces y correlaciones entre los distintos valores utilizados. Sería demasiado largo, complejo y tedioso. [3]

Naturalmente, lo mismo, y con más razón, se aplica a esta entrada del blog.

Pero si podemos decir algunas palabras sobre la ley gaussiana o normal que utiliza Xenakis. Es, tal vez, la distribución de probabilidad más utilizada de la teoría estadística, ya que una muy buena aproximación para una serie de eventos al azar que tienden a agruparse alrededor de un valor característico. Tiene la forma de una campana, y está caracterizada por su ubicación, llamada valor medio o de expectación, y una medida de su ancho denominada desviación estándar.

El nombre de ley gaussiana, se debe a que fue precisamente el matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), el "Princeps mathematicorum", quien en su monografía "Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium" de 1809 planteó dicha ley de probabilidad por primera vez [4]. En la imagen anterior vemos un retrato de Gauss pintado por Gottlieb Biermann (1824 - 1908).

Ese mismo año, el matemático irlandés (aunque radicado en Estados Unidos desde los 23 años) Robert Adrain (1775 - 1843) publicó dos derivaciones de la ley normal simultánea e independientemente de Gauss, aunque su trabajo no trascendió en la comunidad científica, hasta que fue redescubierto por Cleveland Abee (1838 - 1916) más de sesenta años después [5]. Al año siguiente, Pierre.Simon, marqués de Laplace (1749 - 1827) demostró el teorema central del límite que da sustento matemático a la distribución gaussiana [6].

Para terminar, quisiera reproducir un pasaje de "Música Formalizada" que me parece muy interesante. Escribe Xenakis [7]:

Imaginemos una pieza musical compuesta con la ayuda de la matriz vectorial. Un observador que perciba las frecuencias de los eventos deduciría una distribución debida al azar y que sigue las leyes de la probabilidad. Ahora, la pregunta es, si se la escucha un cierto número de veces, ¿esa música mantendrá su sorpresa? ¿No cambiará en una serie de fenómenos predecibles debido a la memoria, a pesar del hecho de que la ley de frecuencias ha sido derivada a partir de las leyes del azar? 

De hecho, los datos parecerán aleatorios sólo la primera vez que se los escuche. Entonces, durante sucesivas audiciones las relaciones entre los eventos ordenados por azar formarán una red, que tomará un significado definido en la mente del oyente, y que iniciará una "lógica" especial, una nueva cohesión capaz de satisfacer tanto a su intelecto como a su sentido estético; siempre que el artista tenga una cierta aptitud. 

Si, por otra parte, queremos que la pieza musical sea siempre impredecible, es posible concebir que en cada repetición ciertos datos sean transformados de tal manera que sus desviaciones respecto de las frecuencias teóricas no sean significativas. Tal vez, una programación aplicada a la primera, segunda, o tercera ejecución producirá piezas al azar que no serán idénticas en un sentido absoluto, cuyas desviaciones también estarán distribuidas al azar. 

O tal vez un sistema con computadores electrónicos podría permitir variaciones de los parámetros de entrada de la matriz y de las nubes de sonido bajo ciertas condiciones. Entonces surgirá una música que puede ser distorsionada en el curso del tiempo, dando al mismo observador en cada ejecución varios resultados aparentemente debidos al azar. A la larga la música seguirá las leyes de probabilidades y las ejecuciones serán "estadísticamente" idénticas entre sí, identidad definida de una vez y para siempre por la "matriz vectorial".

1. Iannis Xenakis: Formalized music: thought and mathematics in composition (Pendragon Press, 1992) p. 34.
2. Linda M. Arsenault: Iannis Xenakis's Achrorripsis: The Matrix Game, Computer Music Journal, 26:1, 58-72 (2002).
3. I. Xenakis, ibid, p. 36.
4. Algunos autores sostienen que la ley fue descubierta por el matemático francés Abraham de Moivre (1667 - 1754) en la segunda edición de 1738 de su libro "Doctrina del Azar", publicado por primera vez en 1718. Sin embargo la referencia a la distribución normal no es -en mi opinión- lo suficientemente directa como para justificar tal primacía.
5. Stephen M. Stigler: Mathematical Statistics in the Early States, The Annals of Statistics 6 (2), 239 - 265 (1978).
6. En la imagen, retrato de Laplace por Sophie Feytaud.
7. I. Xenakis, ibid, p. 37.