La semana pasada describimos como -al llevar el ícono Salus Populi Romani en procesión desde Santa María Maggiore hasta el mausoleo de Adriano, hoy conocido como Castel Sant’Angelo- el papa San Gregorio Magno (ca. 540 - 604) vio al Arcangel San Miguel envainado su espada, en señal de que la gran plaga que había asolado Roma estaba terminando. La siguiente imagen es una representación de la “procesión de San Gregorio” tal como aparece en Les Très Riches Heures du Duc de Berry.
Posiblemente se trató de un brote de peste bubónica, producido por el basilo yersinia pestis, originado en Etiopía o Egipto. Con una mortandad de entre 40 y 60 %, constituyó la primera gran plaga en asolar Europa. Se la conoce como Plaga de Justiniano, por haber atacado el Imperio Bizantino a partir del año 541, es decir durante el gobierno del emperador Justiniano I, quien también contrajo la enfermedad.
La enfermedad llegó a Constantinopla a través del puerto de Pelusio con pulgas infestadas que acompañaban los masivos embarques de grano que alimentaban a los hombres, mujeres -y ratones- de la gran capital imperial. De hecho, las ratas constituyen el principal reservorio de la enfermedad, que es transmitida de un mamífero a otro a través de la picadura de la pulga Xenopsylla cheopis (que vemos en la foto con su proventrículo bloqueado por la enfermedad).
Para los historiadores de la época, la plaga tuvo un alcance prácticamente global, al involucrar Asia meridional y central, el norte de África, Arabia y la totalidad de Europa. El historiador Procopio de Cesarea registra que morían cerca de 10000 personas por día sólo en Constantinopla, estimándose que acabó con el 40 % de sus habitantes [1].
El impacto social, económico y político de la plaga fue gigantesco, justo en un momento cuando el Imperio Bizantino había realizado un gran esfuerzo en guerras contra los Vándalos en el norte de África y contra el reino Ostrogodo en Italia, en un intento -finalmente fallido- por reunificar el imperio romano.
La plaga continuó regresando en sucesivas oleadas durante los siglos VI, VII y VIII, matando un total aproximado de 100 millones de personas en todo el mundo. Tan sólo en Europa, la población decayó entre un 50 y un 60 %. Después de la última oleada, no volvería a aparecer otra pandemia de esas características, hasta la llegada de la Peste Negra en el siglo XIV.
La evolución de una peste tan virulenta como esta, puede ser descrita, en sus rasgos más generales, por una ecuación relativamente simple descubierta por Pierre François Verhulst (1804 – 1849) a mediados del siglo XIX. Influenciado por Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796 - 1874), Verhulst se interesó en la aplicación de la estadística a los problemas sociales. En lo que respecta a la propagación de una peste, hasta ese momento se aceptaba la idea Malthusiana de que el número P de muertes crecería geométricamente, con una velocidad proporcional a la población misma dP/dt = P / T, donde T es un tiempo característico. Pero Quetelet había imaginado la existencia de algunas fuerzas que tendían a limitar ese crecimiento. La idea más simple es que no puede haber más muertos que habitantes, por lo cual tiene que haber un límite P∞ al número total de fallecimientos. Por lo tanto, la velocidad dP/dt debe ir disminuyendo a medida que el número de muertes se acerca a ese límite. Estamos describiendo con palabras una ecuación con el siguiente aspecto dP/dt = (P / T) × (P∞ - P) / P∞, cuya solución es
Este es el resultado que Verhulst demostró en 1846, y se suele denominar "ecuación logística". Aplicándola al crecimiento de una población (de hecho, su idea original), Verhulst predijo –por ejemplo- que la población de Bélgica tendería a un límite máximo de 9.400.000 habitantes. De hecho, la población estimada en 2006 era de diez millones y medio de habitantes, muy próxima al valor predicho por Verhulst.
Utilizando esta ecuación, y la información de "A Journal of the Plague Year" (1722) de Daniel Defoe, he intentado reconstruir la evolución de la peste que afectó a Londres en 1665. Vemos como, tras alcanzarse un máximo de aproximadamente 250 muertes diarias, la plaga comienza a debilitarse rápidamente.
Ahora, ¿de dónde viene este nombre tan extraño de ecuación logística? ¿Y qué significa? Mucha gente la denomina curva en forma de S, debido a su forma característica. Otros la llaman curva sigmoide. Es un nombre raro, pero tiene sentido, ya que proviene de la letra “s” griega, llamada justamente “sigma".
En su trabajo “Investigaciones matemáticas sobre las leyes del crecimiento de la población” de 1845 [2], Pierre Francois Verhulst bautizó esta curva escribiendo “le daremos el nombre de logistica (Logistique)”, pero no explicó el porqué de su elección. Posiblemente tenga que ver con el término "logaritmo" acuñado por John Napier, barón de Merchiston (1550 - 1617) a partir de los términos griego “Logos”, que significa razón ó proporción, y “aritmos” que significa número. Logístico, por su parte, proviene del término griego “logistikos” que significa cálculo. Es por ello que en el ejército se llama logística al movimiento y abastecimiento de las tropas. En resumen, como los logaritmos eran sobre todo una herramienta de cálculo, es posible que Verhulst haya usado ambos términos como sinónimos.
Mientras que el estudio de una plaga del siglo VI puede parecer un tema esotérico, su relevancia en el mundo moderno es evidente a la vista de la continua amenaza de enfermedades emergentes. Pero hay una vuelta de tuercas adicional. Muéstrenle esta ecuación a un químico y posiblemente la reconozca como curva autocatalítica. En la autocatálisis, el producto de una reacción química aumenta la velocidad de la reacción, pero esta comienza a desacelerarse a medida que se van agotando los elementos necesarios para sostenerla. El proceso es descripto por una curva idéntica a la que encontramos para la propagación de una enfermedad o la evolución de poblaciones. El famoso biólogo americano Raymond Pearl (1879-1940) resucitó el término acuñado por Verhulst en sus "Studies in Human Biology" de 1924 [3].
Es así como esta ecuación, en toda su simplicidad, no sólo describe la evolución de una enfermedad, una población o una reacción autocatalítica, sino procesos dinámicos tan disímiles como la disponibilidad energética de un país, el número de catedrales góticas construidas en Europa entre los siglos XI y XV, el número de artículos científicos dedicados a estudiar el metabolismo de la vitamina D, el número de empresas de computación o de modelos de computadoras o la producción mundial de petróleo, por nombrar algunos pocos ejemplos.
Para terminar esta larga entrada, un pequeño juego de “encuentre las diferencias” entre el óleo “La Plaga de Ashdod” (1630) del pintor francés Nicolas Poussin (1594 - 1665), que se encuentra en el Louvre y esta reproducción (1631) del italiano Angelo Caroselli (1585 - 1653) que se puede ver en la National Gallery de Londres.
Posiblemente se trató de un brote de peste bubónica, producido por el basilo yersinia pestis, originado en Etiopía o Egipto. Con una mortandad de entre 40 y 60 %, constituyó la primera gran plaga en asolar Europa. Se la conoce como Plaga de Justiniano, por haber atacado el Imperio Bizantino a partir del año 541, es decir durante el gobierno del emperador Justiniano I, quien también contrajo la enfermedad.
Para los historiadores de la época, la plaga tuvo un alcance prácticamente global, al involucrar Asia meridional y central, el norte de África, Arabia y la totalidad de Europa. El historiador Procopio de Cesarea registra que morían cerca de 10000 personas por día sólo en Constantinopla, estimándose que acabó con el 40 % de sus habitantes [1].
El impacto social, económico y político de la plaga fue gigantesco, justo en un momento cuando el Imperio Bizantino había realizado un gran esfuerzo en guerras contra los Vándalos en el norte de África y contra el reino Ostrogodo en Italia, en un intento -finalmente fallido- por reunificar el imperio romano.
La plaga continuó regresando en sucesivas oleadas durante los siglos VI, VII y VIII, matando un total aproximado de 100 millones de personas en todo el mundo. Tan sólo en Europa, la población decayó entre un 50 y un 60 %. Después de la última oleada, no volvería a aparecer otra pandemia de esas características, hasta la llegada de la Peste Negra en el siglo XIV.
Este es el resultado que Verhulst demostró en 1846, y se suele denominar "ecuación logística". Aplicándola al crecimiento de una población (de hecho, su idea original), Verhulst predijo –por ejemplo- que la población de Bélgica tendería a un límite máximo de 9.400.000 habitantes. De hecho, la población estimada en 2006 era de diez millones y medio de habitantes, muy próxima al valor predicho por Verhulst.
Utilizando esta ecuación, y la información de "A Journal of the Plague Year" (1722) de Daniel Defoe, he intentado reconstruir la evolución de la peste que afectó a Londres en 1665. Vemos como, tras alcanzarse un máximo de aproximadamente 250 muertes diarias, la plaga comienza a debilitarse rápidamente.
Ahora, ¿de dónde viene este nombre tan extraño de ecuación logística? ¿Y qué significa? Mucha gente la denomina curva en forma de S, debido a su forma característica. Otros la llaman curva sigmoide. Es un nombre raro, pero tiene sentido, ya que proviene de la letra “s” griega, llamada justamente “sigma".
En su trabajo “Investigaciones matemáticas sobre las leyes del crecimiento de la población” de 1845 [2], Pierre Francois Verhulst bautizó esta curva escribiendo “le daremos el nombre de logistica (Logistique)”, pero no explicó el porqué de su elección. Posiblemente tenga que ver con el término "logaritmo" acuñado por John Napier, barón de Merchiston (1550 - 1617) a partir de los términos griego “Logos”, que significa razón ó proporción, y “aritmos” que significa número. Logístico, por su parte, proviene del término griego “logistikos” que significa cálculo. Es por ello que en el ejército se llama logística al movimiento y abastecimiento de las tropas. En resumen, como los logaritmos eran sobre todo una herramienta de cálculo, es posible que Verhulst haya usado ambos términos como sinónimos.
Mientras que el estudio de una plaga del siglo VI puede parecer un tema esotérico, su relevancia en el mundo moderno es evidente a la vista de la continua amenaza de enfermedades emergentes. Pero hay una vuelta de tuercas adicional. Muéstrenle esta ecuación a un químico y posiblemente la reconozca como curva autocatalítica. En la autocatálisis, el producto de una reacción química aumenta la velocidad de la reacción, pero esta comienza a desacelerarse a medida que se van agotando los elementos necesarios para sostenerla. El proceso es descripto por una curva idéntica a la que encontramos para la propagación de una enfermedad o la evolución de poblaciones. El famoso biólogo americano Raymond Pearl (1879-1940) resucitó el término acuñado por Verhulst en sus "Studies in Human Biology" de 1924 [3].
Es así como esta ecuación, en toda su simplicidad, no sólo describe la evolución de una enfermedad, una población o una reacción autocatalítica, sino procesos dinámicos tan disímiles como la disponibilidad energética de un país, el número de catedrales góticas construidas en Europa entre los siglos XI y XV, el número de artículos científicos dedicados a estudiar el metabolismo de la vitamina D, el número de empresas de computación o de modelos de computadoras o la producción mundial de petróleo, por nombrar algunos pocos ejemplos.
Para terminar esta larga entrada, un pequeño juego de “encuentre las diferencias” entre el óleo “La Plaga de Ashdod” (1630) del pintor francés Nicolas Poussin (1594 - 1665), que se encuentra en el Louvre y esta reproducción (1631) del italiano Angelo Caroselli (1585 - 1653) que se puede ver en la National Gallery de Londres.
- W. Rosen: Justinian's flea: plague, empire and the birth of Europe (Jonathan Cape Ltd, 2007).
- P.-F.Verhulst: "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 18: pp. 1–42 (1845).
- R. Pearl: Studies in Human Biology (Baltimore: Williams and Wilkins Company, 1924).
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