Para un matemático, la idea de torsión sería aproximadamente la siguiente: Consideremos una curva en el espacio como la que se muestra en esta figura extraída de wikipedia
Las flechas azul, verde y roja representan los llamados vectores tangente, normal y binormal a la curva, y están definidos en cada punto de la misma. Estos vectores son perpendiculares entre sí. En particular, los vectores tangente y normal asocian a cada punto de la curva un plano llamado "osculador". Si la curva fuese la trayectoria de una partícula, entonces el vector tangente sería paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal apuntaría en la dirección de la componente de la fuerza aplicada perpendicularmente a dicha velocidad.
En base a estos tres vectores se define la curvatura como una medida del cambio de dirección del vector tangente y la torsión como una medida del cambio del vector binormal. Por ejemplo, mientras el carro de una montaña rusa se mantenga viajando recto y a velocidad constante, todo va bien. Pero si de pronto cambia su trayectoria, ya sea -por ejemplo- girando hacia un lado o inclinándose hacia abajo, ahí empiezan los problemas. Y la magnitud del susto podría ser cuantificada, justamente, por la curvatura del giro que realizó. Sin embargo, este no es todavía el peor escenario imaginable, ya que en todo momento el plano osculador mantuvo su orientación (paralela a la superficie de la Tierra si el carro giró hacia un lado, y perpendicular a la misma si el carro se inclinó hacia abajo). También el vector binormal mantuvo su orientación, justamente por ser perpendicular a ese plano. La primera curva de esta entrada, con forma de hélice, sería un ejemplo de un viaje relativamente tranquilo de este tipo.
Pero si estamos diseñando una montaña rusa y queremos que la experiencia sea realmente cruel, lo que se precisa es cambiar la dirección del vector binormal. Entonces la trayectoria se retuerce, y la aventura comienza. Y si no me creen, miren lo que pasa con la trayectoria que les muestro en esta figura.
Naturalmente, no hay problema que estudiado con paciencia y brillantez deje de volverse más complicado. La noción de torsión de una cuerva, puede generalizarse a superficies... y más allá. En esos casos hablamos de tensores de torsión, también llamados tensores de Cartan, por el matemático francés Élie Joseph Cartan (1869 - 1951) [2].
Pero pasemos a la noción de torsión que realmente nos interesa. Aquella que resultaría familiar a -por ejemplo- un ingeniero mecánico. Me refiero a la torsión producida sobre un objeto por la acción de un momento de fuerza. En la figura, también extraída de wikipedia, vemos el resultado de tal torsión sobre una barra rectangular. En particular, sus aristas se retuercen alrededor de la dirección del momento de fuerza. De hecho, si imaginamos a la barra como un conjunto de líneas inicialmente paralelas, al aplicar la torsión todas ellas se retuercen, tal como vimos al comienzo de esta entrada y -precisamente- dejan de ser paralelas entre sí.
Las flechas azul, verde y roja representan los llamados vectores tangente, normal y binormal a la curva, y están definidos en cada punto de la misma. Estos vectores son perpendiculares entre sí. En particular, los vectores tangente y normal asocian a cada punto de la curva un plano llamado "osculador". Si la curva fuese la trayectoria de una partícula, entonces el vector tangente sería paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal apuntaría en la dirección de la componente de la fuerza aplicada perpendicularmente a dicha velocidad.
En base a estos tres vectores se define la curvatura como una medida del cambio de dirección del vector tangente y la torsión como una medida del cambio del vector binormal. Por ejemplo, mientras el carro de una montaña rusa se mantenga viajando recto y a velocidad constante, todo va bien. Pero si de pronto cambia su trayectoria, ya sea -por ejemplo- girando hacia un lado o inclinándose hacia abajo, ahí empiezan los problemas. Y la magnitud del susto podría ser cuantificada, justamente, por la curvatura del giro que realizó. Sin embargo, este no es todavía el peor escenario imaginable, ya que en todo momento el plano osculador mantuvo su orientación (paralela a la superficie de la Tierra si el carro giró hacia un lado, y perpendicular a la misma si el carro se inclinó hacia abajo). También el vector binormal mantuvo su orientación, justamente por ser perpendicular a ese plano. La primera curva de esta entrada, con forma de hélice, sería un ejemplo de un viaje relativamente tranquilo de este tipo.
Pero si estamos diseñando una montaña rusa y queremos que la experiencia sea realmente cruel, lo que se precisa es cambiar la dirección del vector binormal. Entonces la trayectoria se retuerce, y la aventura comienza. Y si no me creen, miren lo que pasa con la trayectoria que les muestro en esta figura.
Pero pasemos a la noción de torsión que realmente nos interesa. Aquella que resultaría familiar a -por ejemplo- un ingeniero mecánico. Me refiero a la torsión producida sobre un objeto por la acción de un momento de fuerza. En la figura, también extraída de wikipedia, vemos el resultado de tal torsión sobre una barra rectangular. En particular, sus aristas se retuercen alrededor de la dirección del momento de fuerza. De hecho, si imaginamos a la barra como un conjunto de líneas inicialmente paralelas, al aplicar la torsión todas ellas se retuercen, tal como vimos al comienzo de esta entrada y -precisamente- dejan de ser paralelas entre sí.
Por ejemplo, consideremos la escultura "torsión elíptica" de Richard Serra que mencionamos en una entrada anterior. Imaginémosla como formada por dos elipses, una apoyada en el piso y otra ubicada -también horizontalmente- en el extremo superior de la escultura. Ambas tienen sus ejes perfectamente alineados. Ahora unimos cada punto de la primera elipse con un punto de la otra por medio de cables perfectamente verticales.
Si giramos la elipse superior, los cables se enroscarán alrededor del eje central pero (y esto es importante) manteniéndose perfectamente rectos. Pero esta forma de realizar una torsión tiene sus inconvenientes. Por ejemplo, si giramos la elipse superior en 180 grados, el tubo tenderá a extrangularse en su punto medio... Parecería que esta no es la forma en que se puede llegar a retorcer una placa de acero, ¿o si?
Veamos si podemos imaginar una manera de retorcer el cilindro sin que se produzca un estrangulamiento. Si el problema surgió al considerar cables verticales, pensemos ahora en una estructura formada por cables horizontales. Lo que propongo es pensar al cilindro como si estuviese formada por una serie de anillos elípticos puestos uno arriba de otro hasta formar un tubo. Ahora producimos la torsión girando cada elipse un cierto ángulo (muy pequeño), respecto de la que está ubicada inmediatamente debajo suyo. De esta manera se produce una torsión, pero manteniendo la forma de cada sección horizontal. Por ende, no hay posibilidad de estrangulamiento.
Sin embargo, al realizar la torsión de esta manera aparece otro efecto algo extraño. Imaginemos dos series de puntos. En una serie consideramos uno de los puntos de cada elipse más alejados del centro, y en la otra uno de los dos puntos más cercanos al centro. Cada serie de puntos define una línea, inicialmente recta y vertical. Al rotar las elipses, esas líneas se retuercen y... aumentan su longitud... tanto más cuando más lejos del centro se encuentren. O sea que al terminar el proceso, ambas líneas tendrán distinta longitud. Y si bien el acero tiene cierta elasticidad, no es de goma, y no necesariamente se estirará todo lo querríamos. El resultado es que las elipses se deformarán, dejando de ser planas. Y este efecto, llamado "alabeo", ocurre, en particular, con la elipse apoyada en el piso. Y si esa elipse deja de ser plana, la escultura no estaría bien apoyada sobre el piso...
Entonces... ¿Cuál imaginan que es la torsión de la escultura de Serra? Se me ocurre una idea que tal vez pueda ser de alguna ayuda: ¿Cómo se vería el borde de la escultura en un caso y en el otro? Me refiero a una proyección sobre un plano vertical. Por motivos de copyright no puedo mostrarles una foto. Pero búsquenla en internet, y después me cuentan...
- En la imagen, "perchero retorcido", de los diseñadores Christoph Burtscher (Austria, 1964) y Patrizia Bertolini (Italia, 1964).
- Padre del también reconocido matemático Henri Paul Cartan (1904 - 2008).
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